kaoyan1basic 高等数学 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（填空题） 21．设级数 $\sum_{n \rightarrow 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的系数 $a_{n}$ 满足关系式 $\displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n}+1-\frac{1}{n}, n=2,3, \cdots, a_{1}=2$ ，则当 $|x|<$ 1 时，级数 $\sum_{n-1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle S(x)=\frac{2x}{1-x}+x\ln(1-x)$。 **解析**： 步骤1：由递推$\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}}{n}+1-\frac{1}{n}$，即$na_n=a_{n-1}+n-1$。令$b_n=na_n$，则$b_n=b_{n-1}+n-1$，且$b_1=1\cdot2=2$。累加得$\displaystyle b_n=b_1+\sum_{k=2}^n(k-1)=2+\frac{(n-1)n}{2}$，故$\displaystyle a_n=\frac{2}{n}+\frac{n-1}{2}$。 步骤2：求和函数。$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}+\frac{n-1}{2}\right)x^n=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)x^n$。第一个和$=-2\ln(1-x)$。第二个和$\displaystyle =\frac{1}{2}x^2\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n-2}=\frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{x^2}{2(1-x)^2}$。故$\displaystyle S(x)=-2\ln(1-x)+\frac{x^2}{2(1-x)^2}$。但需检查：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)x^n=x^2\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n-2}=x^2\cdot\frac{1}{(1-x)^2}$，故$\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)x^n=\frac{x^2}{2(1-x)^2}$。所以$\displaystyle S(x)=-2\ln(1-x)+\frac{x^2}{2(1-x)^2}$。 **难度**：★★★☆☆