kaoyan1basic 高等数学 第22题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第22题（解答题） 22．（1）求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^{n} \mathrm{e}^{x}}$ 的通解，其中 $n$ 为任意正整数； （2）记 $a_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 是（1）中满足条件 $y(0)=0$ 的特解，求级数 $\sum_{n-1}^{\infty} a_{n}(x)$ 的和函数。

💡 答案解析

**答案**： (1) $\displaystyle y(x)=e^{-x}\left(\int\frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^{2x}}dx+C\right)$，通解为$\displaystyle y(x)=e^{-x}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{3^n}\int x^{n-1}e^{-2x}dx+C\right)$。 (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=\frac{1}{3e^x}\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{3e^{2x}}}$? 重新计算：特解$\displaystyle a_n(x)=e^{-x}\int_0^x\frac{(-t)^{n-1}}{3^n e^{2t}}dt$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=e^{-x}\int_0^x\frac{1}{3e^{2t}}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{t}{3e^{2t}}\right)^{n-1}dt=e^{-x}\int_0^x\frac{1}{3e^{2t}}\cdot\frac{1}{1+\frac{t}{3e^{2t}}}dt=e^{-x}\int_0^x\frac{1}{3e^{2t}+t}dt$。 **解析**： 步骤1：解微分方程。$\displaystyle y'+y=\frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^x}$，通解$\displaystyle y=e^{-\int dx}\left(\int\frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^x}e^{\int dx}dx+C\right)=e^{-x}\left(\int\frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^{2x}}dx+C\right)$。 步骤2：由$y(0)=0$得$C=-\int_0^0\cdots=0$，故$\displaystyle a_n(x)=e^{-x}\int_0^x\frac{(-t)^{n-1}}{3^n e^{2t}}dt$。 步骤3：求和。$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=e^{-x}\int_0^x\frac{1}{3e^{2t}}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{t}{3e^{2t}}\right)^{n-1}dt=e^{-x}\int_0^x\frac{1}{3e^{2t}}\cdot\frac{1}{1+\frac{t}{3e^{2t}}}dt=e^{-x}\int_0^x\frac{1}{3e^{2t}+t}dt$。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求解一阶线性微分方程的通解
方程为一阶线性非齐次微分方程 y' + y = f(x)，其中 f(x) = (-x)^{n-1} / (3^n e^x)。使用常数变易法，先求齐次方程 y' + y = 0 的通解：y = C e^{-x}。再设非齐次方程的解为 y = u(x) e^{-x}，代入原方程得 u'(x) = f(x) e^x = (-x)^{n-1} / (3^n e^{2x})，积分得 u(x) = ∫ [(-x)^{n-1} / (3^n e^{2x})] dx + C。因此通解为 y = e^{-x} [ ∫ (-x)^{n-1} / (3^n e^{2x}) dx + C ]。
公式：y = e^{-∫dx} [ ∫ f(x) e^{∫dx} dx + C ]
提示：注意积分时不要遗漏常数C，且被积函数中的指数部分要仔细化简。
步骤 2/3
目标：求满足初始条件 y(0)=0 的特解 a_n(x)
将 x=0 代入通解，得 y(0) = e^0 [ ∫_0^0 ... + C ] = C = 0，所以 C=0。因此特解为 a_n(x) = e^{-x} ∫_0^x [(-t)^{n-1} / (3^n e^{2t})] dt。
公式：a_n(x) = e^{-x} ∫_0^x [(-t)^{n-1} / (3^n e^{2t})] dt
提示：积分下限取0是为了满足初始条件，注意积分变量换为t。
步骤 3/3
目标：求级数 ∑ a_n(x) 的和函数
将 a_n(x) 代入级数，交换求和与积分次序：∑_{n=1}^∞ a_n(x) = e^{-x} ∫_0^x [1/(3 e^{2t})] ∑_{n=1}^∞ [(-t)/(3 e^{2t})]^{n-1} dt。几何级数求和得 ∑_{n=1}^∞ r^{n-1} = 1/(1-r)，其中 r = -t/(3 e^{2t})，故级数和为 1/(1 + t/(3 e^{2t}))。因此和函数为 e^{-x} ∫_0^x [1/(3 e^{2t})] * [1/(1 + t/(3 e^{2t}))] dt = e^{-x} ∫_0^x 1/(3 e^{2t} + t) dt。
公式：∑_{n=1}^∞ r^{n-1} = 1/(1-r) (|r|<1)
提示：注意几何级数收敛条件，此处 t 在积分区间内应保证 |r|<1，但题目未要求讨论收敛域。

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