kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．求级数 $\displaystyle \sum_{n=-9}^{n} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n^2-1)2^n}=\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\ln2$。 **解析**： 步骤1：$\displaystyle \frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)$，故原式$\displaystyle =\frac{1}{2}\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{2^n}$。 步骤2：令$\displaystyle S=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)2^n}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^n}$。第一个和$\displaystyle =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m2^{m+1}}=\frac{1}{2}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m2^m}=\frac{1}{2}\ln2$。第二个和$\displaystyle =\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k2^{k-2}}=4\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k2^k}=4\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k2^k}-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=4\left(\ln2-\frac{5}{8}\right)=4\ln2-\frac{5}{2}$。故原式$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\ln2-(4\ln2-\frac{5}{2})\right)=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{2}\ln2+\frac{5}{2}\right)=\frac{5}{4}-\frac{7}{4}\ln2$。检查：第一个和$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)2^n}=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m2^{m+1}}=\frac{1}{2}\ln2$。第二个和$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^n}=\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k2^{k-2}}=4\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{k2^k}=4\left(\ln2-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=4\ln2-\frac{5}{2}$。差为$\displaystyle \frac{1}{2}\ln2-4\ln2+\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}\ln2+\frac{5}{2}$，乘以$\displaystyle \frac{1}{2}$得$\displaystyle \frac{5}{4}-\frac{7}{4}\ln2$。 **难度**：★★★☆☆