kaoyan1basic 高等数学 第25题
📝 题目
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{2^{n}}$ 的和。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n n^2}{2^n}=-\frac{2}{27}$。 **解析**： 步骤1：考虑幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n$，收敛域$|x|<1$。已知$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$，求导得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$，故$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$。再求导得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^{n-1}=\frac{1+x}{(1-x)^3}$，故$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$。 步骤2：令$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$，则原式$\displaystyle =\frac{-\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}{(1+\frac{1}{2})^3}=\frac{-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{(\frac{3}{2})^3}=\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{27}{8}}=-\frac{2}{27}$。 **难度**：★★☆☆☆