kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．设曲线 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{n}}$ 与其在点 $(1,1)$ 处的切线和 $y$ 轴所围成的平面图形的面秎为 $a_{n}$ ，其中 $n=2$ ， $3, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）求暒级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**： (1) $\displaystyle a_n=\frac{1}{2n(n+1)}$。 (2) 收敛域为$[-1,1]$，和函数$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x}\ln(1+x)\right)$，$x\in[-1,0)\cup(0,1]$，且$S(0)=0$。 **解析**： 步骤1：求切线。$\displaystyle y=x^{\frac{1}{n}}$，$\displaystyle y'=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$，在$(1,1)$处切线斜率$\displaystyle k=\frac{1}{n}$，切线方程$\displaystyle y-1=\frac{1}{n}(x-1)$，即$\displaystyle y=\frac{x}{n}+1-\frac{1}{n}$。与$y$轴
📋 详细解题步骤
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