kaoyan1basic 高等数学 第27题

好的，我们先逐步分析题目中的函数，然后证明它满足微分方程，并验证极限条件。我们先从定义域开始。

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**第一步：确定定义域**

函数为 $$ f(x)=x\ln x+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+1)\cdot (n+1)!} $$

- 第一项 $x\ln x$ 要求 $x>0$，因为对数只在正数有定义，并且当 $x=0$ 时无定义。 - 第二项是幂级数。我们来看它的收敛半径。通项为 $$ a_n = \frac{1}{(n+1)(n+1)!} $$ 但这里变量是 $x^{n+2}$，所以相当于系数是 $\frac{1}{(n+1)(n+1)!}$。 用比值法： $$ \frac{|a_{n+1}x^{n+3}|}{|a_n x^{n+2}|} = \frac{ \frac{1}{(n+2)(n+2)!} |x|^{n+3} }{ \frac{1}{(n+1)(n+1)!} |x|^{n+2} } = \frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)(n+2)!} |x| = \frac{n+1}{(n+2)^2} \cdot \frac{|x|}{n+2?} $$ 我们仔细算一下： $$ \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{1}{n+2} $$ 所以比值是 $$ \frac{n+1}{(n+2)^2} |x| \to 0 \quad (n\to\infty) $$ 对任意固定的 $x$，极限为0，因此收敛半径是无穷大。所以级数部分对所有实数 $x$ 都收敛。

因此定义域由第一项决定： $$ \boxed{(0,+\infty)} $$

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**第二步：证明满足微分方程**

我们要证 $$ x y' - y = x e^x $$

先求导。设 $$ y = x\ln x + \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!} $$

对第一项求导： $$ \frac{d}{dx}(x\ln x) = \ln x + 1 $$

对级数项逐项求导（因为一致收敛性在收敛区间内成立）： $$ \frac{d}{dx} \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!} = \frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)(n+1)!} $$

所以 $$ y' = \ln x + 1 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)x^{n+1}}{(n+1)(n+1)!} $$

现在计算 $x y' - y$：

$$ x y' = x\ln x + x + \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!} $$

减去 $y = x\ln x + \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+1)!}$，得到：

- $x\ln x$ 抵消。 - 剩下 $x$ 项单独保留。 - 级数部分： $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2) - 1}{(n+1)(n+1)!} x^{n+2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{(n+1)(n+1)!} x^{n+2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)!} $$

将指数改写：令 $m=n+1$，则 $n=m-1$，当 $n=0$ 时 $m=1$， $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+1)!} = \sum_{m=1}^\infty \frac{x^{m+1}}{m!} = x \sum_{m=1}^\infty \frac{x^m}{m!} = x(e^x - 1) $$

于是 $$ x y' - y = x + x(e^x - 1) = x e^x $$

这正是要证的方程。

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**第三步：验证极限**

当 $x\to 0^+$ 时：

- $x\ln x \to 0$（这是经典极限）。 - 级数部分：首项 $n=0$ 为 $\frac{x^2}{1\cdot 1!}=x^2$，后面都是更高次项，因此和趋于0。

所以 $$ \lim_{x\to 0^+} y(x) = 0 $$

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**最终答案：**

$$ \boxed{(0,+\infty)} $$ 且已证明满足微分方程及极限条件。