kaoyan1basic 高等数学 第28题

**答案**：收敛域为$(-2,0)$，和函数$\displaystyle S(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ **解析**： 步骤1：将$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$展开为$x+1$的幂级数。令$t=x+1$，则$x=t-1$，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(t-1)^2}$。 步骤2：由$\displaystyle \frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n$，$|t|<1$，两边求导得$\displaystyle \frac{1}{(1-t)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nt^{n-1}$，$|t|<1$。 步骤3：故$\displaystyle \frac{1}{(t-1)^2}=\frac{1}{(1-t)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nt^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)t^n$，$|t|<1$。 步骤4：代回$t=x+1$得$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n$，收敛域为$|x+1|<1$即$(-2,0)$。 步骤5：题目中$\sum_{n=1}^{\infty}n^2(x+1)^n$的和函数$S(x)$，由$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2t^n=t\frac{d}{dt}\left(t\frac{d}{dt}\sum_{n=1}^{\infty}t^n\right)=t\frac{d}{dt}\left(t\cdot\frac{1}{(1-t)^2}\right)=\frac{t(1+t)}{(1-t)^3}$，$|t|<1$。 步骤6：令$t=x+1$，则$\displaystyle S(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{(-x)^3}$，但注意到原题中幂级数为$\sum_{n=1}^{\infty}n^2(x+1)^n$，而展开式为$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n$，两者不同。实际上，由$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$的展开式知$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n=\frac{1}{x^2}$，故$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n^2(x+1)^n$需另行计算。 步骤7：利用已知展开式$\displaystyle \frac{1}{(1-t)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)t^n$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2t^n=t\sum_{n=1}^{\infty}n^2t^{n-1}=t\cdot\frac{d}{dt}\left(\sum_{n=1}^{\infty}nt^n\right)=t\cdot\frac{d}{dt}\left(\frac{t}{(1-t)^2}\right)=\frac{t(1+t)}{(1-t)^3}$。 步骤8：故$\displaystyle S(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{(-x)^3}$，但原题中$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$的展开式对应$\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n$，而$S(x)$是另一个级数。实际上，由$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}$可得$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n=\frac{1}{x^2}$，因此$\sum_{n=1}^{\infty}n^2(x+1)^n$与$f(x)$无关。 步骤9：重新审题，题目要求“求$\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(x+1)^{\mathrm{a}}$的和函数$S(x)$”，其中指数应为$n$，即$\sum_{n=1}^{\infty}n^2(x+1)^n$。 步骤10：由$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2t^n=\frac{t(1+t)}{(1-t)^3}$，$|t|<1$，令$t=x+1$得$\displaystyle S(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{(-x)^3}$，收敛域$|x+1|<1$即$(-2,0)$。 **难度**：★★★☆☆