kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
### 【强化篇】第29题（填空题） 29．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$[-1,1]$ **解析**： 步骤1：幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，令$t=x^2$，则级数为$\displaystyle x\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{t^n}{2n+1}$。 步骤2：考虑$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{t^n}{2n+1}$，收敛半径$\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+1}=1$，故$|t|<1$时收敛，即$|x|<1$。 步骤3：端点处：$x=1$时，级数为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}$，由莱布尼茨判别法知收敛；$x=-1$时，级数为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n+1}$，也收敛。 步骤4：故收敛域为$[-1,1]$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简幂级数形式
令 t = x^2，则原级数化为 x * ∑_{n=1}^∞ (-1)^n * t^n / (2n+1)。
公式：t = x^2
提示：注意提取公因子 x，因为 x 与求和指标 n 无关。
步骤 2/4
目标：求收敛半径
考虑级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n * t^n / (2n+1)，计算收敛半径 R = lim_{n→∞} |a_n / a_{n+1}| = lim_{n→∞} (2n+3)/(2n+1) = 1，故 |t| < 1 时收敛，即 |x| < 1。
公式：R = lim_{n→∞} |a_n / a_{n+1}|
提示：这里 a_n = (-1)^n/(2n+1)，注意绝对值。
步骤 3/4
目标：判断端点收敛性
当 x = 1 时，级数为 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n/(2n+1)，由莱布尼茨判别法知收敛；当 x = -1 时，级数为 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n * (-1)^{2n+1}/(2n+1) = ∑_{n=1}^∞ (-1)^{n+1}/(2n+1)，也收敛。
公式：莱布尼茨判别法
提示：注意 x = -1 时，(-1)^{2n+1} = -1，所以符号变化。
步骤 4/4
目标：得出收敛域
综合收敛区间和端点收敛性，收敛域为 [-1, 1]。
提示：收敛域包括端点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。