kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
### 【强化篇】第30题（解答题） 30．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n(n+1)}{2^{n}}$ 的和．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{4}{27}$ **解析**： 步骤1：求$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n(n+1)}{2^n}$。考虑幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n$，其和函数为$\displaystyle S(x)=\frac{2x^2}{(1-x)^3}$，$|x|<1$。 步骤2：令$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)\left(-\frac{1}{2}\right)^n=S\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\cdot\frac{1}{4}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^3}=\frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^3}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{27}=\frac{4}{27}$。 步骤3：原级数为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n(n+1)}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)\left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{4}{27}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造幂级数并求其和函数
考虑幂级数 ∑_{n=1}^∞ n(n+1)x^n，其和函数为 S(x) = 2x^2/(1-x)^3，|x|<1。
公式：S(x) = \frac{2x^2}{(1-x)^3}
提示：利用已知幂级数展开或逐项积分求导得到和函数。
步骤 2/3
目标：代入 x = -1/2 计算级数和
令 x = -1/2，则 ∑_{n=1}^∞ n(n+1)(-1/2)^n = S(-1/2) = 2*(1/4)/(1+1/2)^3 = (1/2)/(27/8) = 4/27。
公式：S\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\cdot\frac{1}{4}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{4}{27}
提示：注意负号的处理：(-1/2)^n = (-1)^n/2^n。
步骤 3/3
目标：得出原级数的和
原级数 ∑_{n=1}^∞ (-1)^n n(n+1)/2^n = ∑_{n=1}^∞ n(n+1)(-1/2)^n = 4/27。
公式：\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n(n+1)}{2^n} = \frac{4}{27}
提示：检查级数收敛性，确认代入值在收敛域内。
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