kaoyan1basic 高等数学 第31题
📝 题目
### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设 $a_{n}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} a_{n+2}$ 。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ **解析**： 步骤1：计算$a_n=\int_0^{+\infty}e^{-n^2x^2}dx$，令$t=nx$，则$\displaystyle dx=\frac{dt}{n}$，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n}\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2n}$。 步骤2：则$\displaystyle a_{n+2}=\frac{\sqrt{\pi}}{2(n+2)}$，故$\displaystyle a_n a_{n+2}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{n(n+2)}$。 步骤3：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n a_{n+2}=\frac{\pi}{4}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n(n+2)}$。 步骤4：将$\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$。 步骤5：计算$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}=-\ln2$，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n+2}=\sum_{m=3}^{\infty}(-1)^{m-2}\frac{1}{m}=\sum_{m=3}^{\infty}(-1)^m\frac{1}{m}=(-\ln2+1-\frac{1}{2})=-\ln2+\frac{1}{2}$。 步骤6：故原式$\displaystyle =\frac{1}{2}\left[-\ln2-\left(-\ln2+\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$。 步骤7：因此$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n a_{n+2}=\frac{\pi}{4}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi}{16}$。 **难度**：★★★☆☆