kaoyan1basic 高等数学 第32题
📝 题目
### 【强化篇】第32题（填空题） 32．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{n!}$ 的和为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e-1$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{n!}=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$。 步骤2：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$。 步骤3：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=e-1$。 步骤4：原式$=2e-(e-1)=e+1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原级数拆分为两个级数之和
原级数 = ∑(2n-1)/n! = 2∑n/n! - ∑1/n!
公式：∑(2n-1)/n! = 2∑n/n! - ∑1/n!
提示：利用线性性质拆分级数
步骤 2/4
目标：计算 ∑n/n!
∑_{n=1}^∞ n/n! = ∑_{n=1}^∞ 1/(n-1)! = ∑_{k=0}^∞ 1/k! = e
公式：∑_{n=1}^∞ n/n! = e
提示：注意 n/n! = 1/(n-1)!，然后换元 k=n-1
步骤 3/4
目标：计算 ∑1/n!
∑_{n=1}^∞ 1/n! = (∑_{n=0}^∞ 1/n!) - 1 = e - 1
公式：∑_{n=1}^∞ 1/n! = e - 1
提示：利用 e 的展开式 ∑_{n=0}^∞ 1/n! = e
步骤 4/4
目标：代入计算原级数和
原式 = 2e - (e-1) = e + 1
公式：2e - (e-1) = e+1
提示：注意符号
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