kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 【强化篇】第33题（填空题） 33．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2) \cdot n!}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+2)n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{(n+2)!}$，因为$\displaystyle \frac{1}{(n+2)n!}=\frac{n+1}{(n+2)!}$。 步骤2：又$\displaystyle \frac{n+1}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}$。 步骤3：故原式$\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}\right)=\frac{1}{2!}-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将通项转化为阶乘形式
将原式中的通项 1/((n+2)n!) 改写为 (n+1)/(n+2)!，因为 1/((n+2)n!) = (n+1)/((n+2)n! * (n+1)) = (n+1)/(n+2)!。
公式：1/((n+2)n!) = (n+1)/(n+2)!
提示：注意 n! 与 (n+2)! 的关系，乘以 (n+1)(n+2) 即可转化。
步骤 2/3
目标：将分式拆分为两个阶乘的差
将 (n+1)/(n+2)! 拆分为 1/(n+1)! - 1/(n+2)!，因为 1/(n+1)! - 1/(n+2)! = ((n+2) - 1)/(n+2)! = (n+1)/(n+2)!。
公式：(n+1)/(n+2)! = 1/(n+1)! - 1/(n+2)!
提示：这是裂项相消的关键步骤，注意分母阶乘的递推关系。
步骤 3/3
目标：求和并计算极限
原式 = ∑_{n=1}^{∞} [1/(n+1)! - 1/(n+2)!] = 1/2! - lim_{n→∞} 1/(n+2)! = 1/2 - 0 = 1/2。
公式：∑_{n=1}^{∞} (1/(n+1)! - 1/(n+2)!) = 1/2!
提示：裂项后中间项全部抵消，只剩下第一项和极限项。
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