kaoyan1basic 高等数学 第34题
📝 题目
### 【强化篇】第34题（填空题） 34．$\sum_{n=0}^{\infty} x^{2} 2^{-\pi}(x>0)$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x^2}{1-2^{-x}}$ **解析**： 步骤1：$\sum_{n=0}^{\infty}x^2\cdot2^{-nx}=x^2\sum_{n=0}^{\infty}(2^{-x})^n$，公比$q=2^{-x}$，当$|2^{-x}|<1$即$x>0$时收敛。 步骤2：和函数$\displaystyle S(x)=x^2\cdot\frac{1}{1-2^{-x}}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将级数化为等比级数形式
原级数 ∑_{n=0}^∞ x^2 2^{-nx} = x^2 ∑_{n=0}^∞ (2^{-x})^n，其中公比 q = 2^{-x}。
公式：∑_{n=0}^∞ a r^n = a/(1-r) 当 |r|<1
提示：注意提取公因子 x^2，并识别出等比级数形式。
步骤 2/2
目标：确定收敛条件并求和函数
当 |2^{-x}| < 1 即 x > 0 时级数收敛，和函数 S(x) = x^2 * 1/(1 - 2^{-x})。
公式：S(x) = x^2/(1-2^{-x})
提示：公比绝对值小于1是等比级数收敛的条件。
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