kaoyan1basic 高等数学 第36题
📝 题目
### 【强化篇】第36题（填空题） 36．$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+2}{n!}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$3e$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+2}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}+2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$。 步骤2：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!}=e$，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e$。 步骤3：原式$=e+2e=3e$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：拆分求和项
将原级数拆分为两个级数之和：∑(n+2)/n! = ∑ n/n! + 2∑ 1/n!
公式：∑(n+2)/n! = ∑ n/n! + 2∑ 1/n!
提示：利用线性性质拆分级数
步骤 2/4
目标：计算第一个级数
∑_{n=0}^∞ n/n! = ∑_{n=1}^∞ 1/(n-1)! = e
公式：∑_{n=1}^∞ 1/(n-1)! = e
提示：注意n=0项为0，从n=1开始，并令k=n-1
步骤 3/4
目标：计算第二个级数
∑_{n=0}^∞ 1/n! = e
公式：∑_{n=0}^∞ 1/n! = e
提示：这是e的泰勒展开
步骤 4/4
目标：合并结果
原式 = e + 2e = 3e
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