kaoyan1basic 高等数学 第37题
📝 题目
### 【强化篇】第37题（解答题） 37．求 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty} \frac{\left[2+(-1)^{n}\right]^{n}}{n \cdot 6^{n}}$ 的值。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{[2+(-1)^n]^n}{n\cdot6^n}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2+1)^{2k-1}}{(2k-1)\cdot6^{2k-1}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2-1)^{2k}}{2k\cdot6^{2k}}$，因为$n$为奇数时$2+(-1)^n=3$，$n$为偶数时$2+(-1)^n=1$。 步骤2：奇数项：$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{2k-1}}{(2k-1)6^{2k-1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\left(\frac{3}{6}\right)^{2k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k-1}$。 步骤3：偶数项：$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1^{2k}}{2k\cdot6^{2k}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{6}\right)^{2k}$。 步骤4：利用$\displaystyle \ln\frac{1+x}{1-x}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，令$\displaystyle x=\frac{1}{2}$得$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+1/2}{1-1/2}=\frac{1}{2}\ln3$，故奇数项$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln3$（注意$k$从1开始，减去$k=0$项$\displaystyle \frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，故奇数项$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln3-\frac{1}{2}$）。 步骤5：偶数项：$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k}\left(\frac{1}{36}\right)^k=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\left(\frac{1}{36}\right)^k=-\frac{1}{2}\ln\left(1-\frac{1}{36}\right)=-\frac{1}{2}\ln\frac{35}{36}$。 步骤6：原式$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln3-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln\frac{35}{36}=\frac{1}{2}\ln\frac{3\cdot36}{35}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ln\frac{108}{35}-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆