kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 【强化篇】第38题（解答题） 38．已知函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)=-1$ ，且 $f(0)=0$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）设 $a>0$ ，级数 $\sum_{n-2}^{\infty} f\left(n^{-a} \ln n\right)$ 收敛，求 $a$ 的取值范围。
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x)=1-e^{-x}$；（2）$\displaystyle a>\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由$f''(x)+f'(x)=0$，特征方程$r^2+r=0$，解得$r=0,-1$，通解$f(x)=C_1+C_2e^{-x}$。 步骤2：代入$f''(x)+2f'(x)+f(x)=-1$，得$f''+2f'+f=-1$，将$f=C_1+C_2e^{-x}$代入：$f'=-C_2e^{-x}$，$f''=C_2e^{-x}$，则$C_2e^{-x}+2(-C_2e^{-x})+C_1+C_2e^{-x}=C_1=-1$，故$C_1=-1$。 步骤3：由$f(0)=0$得$-1+C_2=0$，$C_2=1$，故$f(x)=-1+e^{-x}$。 步骤4：$f(n^{-a}\ln n)=e^{-n^{-a}\ln n}-1=n^{-n^{-a}}-1$，当$n\to\infty$时，$n^{-n^{-a}}=e^{-n^{-a}\ln n}$，展开$e^{-n^{-a}\ln n}=1-n^{-a}\ln n+O(n^{-2a}\ln^2n)$，故$f(n^{-a}\ln n)\sim -n^{-a}\ln n$。 步骤5：级数$\sum_{n=2}^{\infty}f(n^{-a}\ln n)$收敛等价于$\sum_{n=2}^{\infty}n^{-a}\ln n$收敛，由比较判别法，当$a>1$时收敛，$a\leq1$时发散。 **难度**：★★★★☆