kaoyan1basic 高等数学 第39题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第39题（填空题） 39．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & -\pi \leqslant x<0,\end{array} S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n-1}^{\cdots}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=$ ， $\_\_\_\_$ 考研数学题源探析经典 1000 题（数学一） （A）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)$以$2\pi$为周期，傅里叶系数$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}(x+1)\cos nx dx$。 步骤2：计算$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\left[\int_0^{\pi}x\cos nx dx+\int_0^{\pi}\cos nx dx\right]=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x\sin nx}{n}\big|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\frac{\sin nx}{n}dx+\frac{\sin nx}{n}\big|_0^{\pi}\right]=\frac{1}{\pi}\left[0+\frac{\cos nx}{n^2}\big|_0^{\pi}+0\right]=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\cos n\pi-1}{n^2}=\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}$。 步骤3：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n-1}{\pi n^2}=\frac{1}{\pi}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi^2}{12}-\frac{\pi^2}{6}\right)=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{\pi^2}{4}\right)=-\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：写出傅里叶系数a_n的表达式
由于f(x)以2π为周期，傅里叶系数a_n = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(nx) dx。根据f(x)的分段定义，在[-π,0)上f(x)=0，在[0,π]上f(x)=x+1，因此a_n = (1/π) ∫_{0}^{π} (x+1) cos(nx) dx。
公式：a_n = (1/π) ∫_{0}^{π} (x+1) cos(nx) dx
提示：注意积分区间由f(x)的非零部分决定。
步骤 2/3
目标：计算积分得到a_n的表达式
将积分拆分为两部分：∫_{0}^{π} x cos(nx) dx 和 ∫_{0}^{π} cos(nx) dx。对于∫ x cos(nx) dx，使用分部积分：令u=x, dv=cos(nx)dx，则du=dx, v=sin(nx)/n，得到∫ x cos(nx) dx = (x sin(nx))/n - ∫ sin(nx)/n dx = (x sin(nx))/n + cos(nx)/n^2。代入上下限0到π，得(π sin(nπ))/n + cos(nπ)/n^2 - (0 + 1/n^2) = 0 + ((-1)^n)/n^2 - 1/n^2 = ((-1)^n - 1)/n^2。另一部分∫ cos(nx) dx = sin(nx)/n，代入上下限得sin(nπ)/n - 0 = 0。因此a_n = (1/π) * [((-1)^n - 1)/n^2 + 0] = ((-1)^n - 1)/(π n^2)。
公式：a_n = ((-1)^n - 1)/(π n^2)
提示：注意sin(nπ)=0，cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 3/3
目标：求级数∑_{n=1}^{∞} a_n
∑_{n=1}^{∞} a_n = ∑_{n=1}^{∞} [((-1)^n - 1)/(π n^2)] = (1/π) [∑_{n=1}^{∞} ((-1)^n)/n^2 - ∑_{n=1}^{∞} 1/n^2]。已知∑_{n=1}^{∞} 1/n^2 = π^2/6，∑_{n=1}^{∞} ((-1)^n)/n^2 = -π^2/12（因为∑_{n=1}^{∞} ((-1)^{n-1})/n^2 = π^2/12，所以∑_{n=1}^{∞} ((-1)^n)/n^2 = -π^2/12）。代入得∑ a_n = (1/π)[-π^2/12 - π^2/6] = (1/π)(-π^2/4) = -π/4。
公式：∑_{n=1}^{∞} 1/n^2 = π^2/6, ∑_{n=1}^{∞} ((-1)^n)/n^2 = -π^2/12
提示：注意级数求和公式的符号。

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