kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
### 【强化篇】第40题（填空题） 40．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$ ．若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$f(x)$周期为2，偶延拓后余弦级数，$a_n=2\int_0^1(1-x)\cos n\pi x dx$。 步骤2：计算$\displaystyle a_n=2\left[\int_0^1\cos n\pi x dx-\int_0^1 x\cos n\pi x dx\right]=2\left[\frac{\sin n\pi x}{n\pi}\big|_0^1-\left(\frac{x\sin n\pi x}{n\pi}\big|_0^1-\int_0^1\frac{\sin n\pi x}{n\pi}dx\right)\right]=2\left[0-\left(0+\frac{\cos n\pi x}{n^2\pi^2}\big|_0^1\right)\right]=2\cdot\frac{1-\cos n\pi}{n^2\pi^2}=\frac{2[1-(-1)^n]}{n^2\pi^2}$。 步骤3：$\displaystyle a_{2n}=\frac{2[1-(-1)^{2n}]}{(2n)^2\pi^2}=0$，故$\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定傅里叶系数公式
由于f(x)是周期为2的偶函数（题目中给出的余弦级数形式表明进行了偶延拓），傅里叶系数a_n = 2∫_0^1 f(x) cos(nπx) dx，其中f(x)=1-x。
公式：a_n = 2∫_0^1 (1-x) cos(nπx) dx
提示：注意周期为2时，余弦级数的基频为π。
步骤 2/3
目标：计算a_n的表达式
计算积分：a_n = 2[∫_0^1 cos(nπx) dx - ∫_0^1 x cos(nπx) dx]。先计算∫_0^1 cos(nπx) dx = sin(nπx)/(nπ)|_0^1 = 0。再计算∫_0^1 x cos(nπx) dx，使用分部积分：令u=x, dv=cos(nπx)dx，则du=dx, v=sin(nπx)/(nπ)，积分得 x sin(nπx)/(nπ)|_0^1 - ∫_0^1 sin(nπx)/(nπ) dx = 0 + cos(nπx)/(n^2π^2)|_0^1 = (cos(nπ)-1)/(n^2π^2)。因此a_n = 2[0 - (cos(nπ)-1)/(n^2π^2)] = 2(1-cos(nπ))/(n^2π^2) = 2[1-(-1)^n]/(n^2π^2)。
公式：a_n = 2[1-(-1)^n]/(n^2π^2)
提示：注意cos(nπ)=(-1)^n。
步骤 3/3
目标：求a_{2n}并求和
将n替换为2n：a_{2n} = 2[1-(-1)^{2n}]/((2n)^2π^2) = 2[1-1]/(4n^2π^2) = 0。因此所有偶数项系数均为0，故∑_{n=1}^∞ a_{2n} = 0。
公式：a_{2n}=0
提示：(-1)^{2n}=1恒成立。
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