kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 【强化篇】第41题（填空题） 41．设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续且满足 $f(x+\pi)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2 n}=$ $\_\_\_\_$ $(n=1,2, \cdots)$ 。
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(2nx)dx$。 步骤2：由$f(x+\pi)=-f(x)$，则$f(x)$以$\pi$为反周期，即$f(x+\pi)=-f(x)$，则$f(x)$的傅里叶系数中，$\displaystyle a_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(2nx)dx$，将积分区间分成$[-\pi,0]$和$[0,\pi]$，并利用$f(x+\pi)=-f(x)$可证$a_{2n}=0$。 步骤3：具体地，令$x=t-\pi$，则$\int_{-\pi}^{0}f(x)\cos(2nx)dx=\int_{0}^{\pi}f(t-\pi)\cos(2n(t-\pi))dt=\int_{0}^{\pi}(-f(t))\cos(2nt)dt$，与$\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(2nx)dx$相加得0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出傅里叶系数a_{2n}的定义式
根据傅里叶系数公式，a_{2n} = (1/π) ∫_{-π}^{π} f(x) cos(2nx) dx。
公式：a_{2n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(2nx) dx
提示：注意n为正整数，cos(2nx)的周期为π/n，但这里积分区间长度为2π。
步骤 2/3
目标：利用条件f(x+π)=-f(x)将积分区间拆分并变换
将积分区间拆分为[-π,0]和[0,π]。对第一个积分做变量代换x=t-π，则当x从-π到0时，t从0到π。代入得∫_{-π}^{0} f(x) cos(2nx) dx = ∫_{0}^{π} f(t-π) cos(2n(t-π)) dt。由条件f(t-π)=f(t+π-2π)=f(t+π)（因为周期为2π？注意：f(x+π)=-f(x)意味着f(x+2π)=f(x)，所以周期为2π），实际上f(t-π)=f(t+π-2π)=f(t+π)（利用周期2π），而f(t+π)=-f(t)，所以f(t-π)=-f(t)。同时cos(2n(t-π))=cos(2nt-2nπ)=cos(2nt)。因此∫_{-π}^{0} f(x) cos(2nx) dx = ∫_{0}^{π} (-f(t)) cos(2nt) dt。
公式：∫_{-π}^{0} f(x) cos(2nx) dx = ∫_{0}^{π} (-f(t)) cos(2nt) dt
提示：注意cos(2n(t-π))=cos(2nt-2nπ)=cos(2nt)，因为余弦周期为2π。
步骤 3/3
目标：合并两个积分并得出a_{2n}=0
将变换后的积分与[0,π]上的积分相加：a_{2n} = (1/π)[∫_{0}^{π} (-f(t)) cos(2nt) dt + ∫_{0}^{π} f(x) cos(2nx) dx] = (1/π)∫_{0}^{π} [ -f(t) + f(t) ] cos(2nt) dt = 0。
公式：a_{2n} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (-f(t)+f(t)) \cos(2nt) dt = 0
提示：注意积分变量名称可统一为x或t，结果为零。
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