kaoyan1basic 高等数学 第42题

**答案**：（1）$\displaystyle x\cos x=\frac{1}{2}\sin x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2n}{4n^2-1}\sin(2nx)$；（2）$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos(2n+1)x}{(2n+1)^2}$，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$；（3）余弦级数：$\displaystyle \frac{\pi-x}{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos nx$，正弦级数：$\displaystyle \frac{\pi-x}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin nx$ **解析**： （1）步骤1：$f(x)=x\cos x$在$\displaystyle (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$上为奇函数，故$a_n=0$，$\displaystyle b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}x\cos x\sin(nx)dx$。 步骤2：利用积化和差，$\displaystyle x\cos x\sin(nx)=\frac{x}{2}[\sin((n+1)x)+\sin((n-1)x)]$，积分计算得$\displaystyle b_1=\frac{1}{2}$，$\displaystyle b_n=\frac{(-1)^{n+1}2n}{4n^2-1}$（$n\geq2$）。 步骤3：故$\displaystyle x\cos x=\frac{1}{2}\sin x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2n}{4n^2-1}\sin(nx)$，合并$n=1$项得$\displaystyle x\cos x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}2n}{4n^2-1}\sin(nx)$。 （2）步骤1：将$f(x)=x$在$[0,\pi]$上展开为余弦级数，需偶延拓，$\displaystyle a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}xdx=\pi$，$\displaystyle a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\cos nx dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n-1}{n^2}$。 步骤2：故$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2[(-1)^n-1]}{\pi n^2}\cos nx=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}$。 步骤3：令$x=0$得$\displaystyle 0=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}$，故$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$。 （3）步骤1：余弦级数：偶延拓，$\displaystyle a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\pi-x}{2}dx=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi-x)dx=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\pi-x}{2}\cos nx dx=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi-x)\cos nx dx=\frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}$。 步骤2：故$\displaystyle \frac{\pi-x}{2}=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}$。 步骤3：正弦级数：奇延拓，$\displaystyle b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\pi-x}{2}\sin nx dx=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi-x)\sin nx dx=\frac{1}{n}$。 步骤4：故$\displaystyle \frac{\pi-x}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin nx$。 **难度**：★★★★☆