kaoyan1basic 高等数学 第43题
📝 题目
### 【强化篇】第43题（解答题） 43．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in[0,2]$ ．若 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶级数的和函数，试求 $S(0), S(2), S(3)$ 的值．
## 第17章 多元函数积分学的预备知识
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle S(0)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{e}^2)$, $\displaystyle S(2)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{e}^2)$, $\displaystyle S(3)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{e}^2)$ **解析**：步骤1：$f(x)$周期为2，在$x=0$处有跳跃间断点，傅里叶级数收敛于左右极限平均值。$f(0^-)=f(2^-)=\mathrm{e}^2$, $f(0^+)=f(0)=\mathrm{e}^0=1$，故$\displaystyle S(0)=\frac{1+\mathrm{e}^2}{2}$。 步骤2：$x=2$也是跳跃点，$f(2^-)=\mathrm{e}^2$, $f(2^+)=f(0)=1$，故$\displaystyle S(2)=\frac{1+\mathrm{e}^2}{2}$。 步骤3：$x=3=2+1$，由周期性$S(3)=S(1)$，$x=1$为连续点，$S(1)=f(1)=\mathrm{e}^1=\mathrm{e}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算 S(0)
f(x)周期为2，在x=0处有跳跃间断点，傅里叶级数收敛于左右极限的平均值。左极限f(0^-)=f(2^-)=e^2，右极限f(0^+)=f(0)=1，故S(0)=(1+e^2)/2。
公式：S(x) = [f(x^-)+f(x^+)]/2 在间断点处
提示：注意周期函数在端点处的左右极限
步骤 2/3
目标：计算 S(2)
x=2也是跳跃点，左极限f(2^-)=e^2，右极限f(2^+)=f(0)=1，故S(2)=(1+e^2)/2。
公式：S(2) = [f(2^-)+f(2^+)]/2
提示：x=2是周期端点，左右极限分别对应周期内和周期外
步骤 3/3
目标：计算 S(3)
由周期性，S(3)=S(1)。x=1在区间(0,2)内，为连续点，故S(1)=f(1)=e^1=e。
公式：S(3)=S(1)=f(1)=e
提示：利用周期性将点转换到基本区间[0,2]内
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