kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0, f_{x}^{\prime}(0,0)=1, f_{y}^{\prime}(0,0)=-1$ ，且 $\boldsymbol{n}=(-1$ ， $1,1)$ ，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(x, y, f(x, y)) \cdot n}{\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-1}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$-\sqrt{2}$ **解析**：步骤1：由可微性，$f(x,y)=x-y+o(\sqrt{x^2+y^2})$。 步骤2：$(x,y,f(x,y))\cdot n = -x+y+f(x,y) = -x+y+(x-y+o(\rho))=o(\rho)$，其中$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$。 步骤3：分母$\mathrm{e}^{\rho}-1\sim\rho$，故极限$\displaystyle \lim_{\rho\to0}\frac{o(\rho)}{\rho}=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用可微性展开f(x,y)
由于f在(0,0)处可微，且f(0,0)=0，f_x'(0,0)=1，f_y'(0,0)=-1，则f(x,y)=f(0,0)+f_x'(0,0)x+f_y'(0,0)y+o(√(x²+y²))=x-y+o(ρ)，其中ρ=√(x²+y²)。
公式：f(x,y)=x-y+o(ρ)
提示：可微的定义：f(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+o(ρ)。
步骤 2/4
目标：计算分子点积
向量n=(-1,1,1)，所以(x,y,f(x,y))·n = -x + y + f(x,y)。代入f(x,y)得：-x+y+(x-y+o(ρ)) = o(ρ)。
公式：(x,y,f(x,y))·n = o(ρ)
提示：注意o(ρ)是比ρ高阶的无穷小。
步骤 3/4
目标：化简分母
当ρ→0时，e^ρ-1 ~ ρ，所以分母e^(√(x²+y²))-1 ~ ρ。
公式：e^ρ-1 ~ ρ
提示：等价无穷小替换。
步骤 4/4
目标：求极限
原极限 = lim_{ρ→0} o(ρ)/ρ = 0。
公式：lim_{ρ→0} o(ρ)/ρ = 0
提示：高阶无穷小除以低阶无穷小极限为0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。