kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+2 y^{2}\right)}$ ，曲线 $y=y(x)$ 上任一点 $P$ 的切线方向始终指向 $f(x, y)$ 变化率最大的方向，且 $y(1)=2$ ，则 $y(x)=(\quad)$ 。 （A） $2 x^{2}$ （B）$x^{2}+x$ （C） $\mathrm{e}^{-x^{2}+1}+x$ （D） $2 \mathrm{e}^{-x^{2}+1}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$f(x,y)$变化率最大的方向为梯度方向，$\nabla f = (-2x\mathrm{e}^{-(x^2+2y^2)}, -4y\mathrm{e}^{-(x^2+2y^2)})$，方向向量为$(x,2y)$。 步骤2：切线方向为$(1,y'(x))$，与$(x,2y)$平行，得$\displaystyle \frac{1}{x}=\frac{y'}{2y}$，即$\displaystyle y'=\frac{2y}{x}$。 步骤3：解微分方程得$y=Cx^2$，代入$y(1)=2$得$C=2$，故$y=2x^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定函数变化率最大的方向
计算梯度：∇f = (-2x e^{-(x^2+2y^2)}, -4y e^{-(x^2+2y^2)})，方向向量为 (x, 2y)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
提示：梯度方向是函数值增加最快的方向，变化率最大的方向即梯度方向或其反方向。
步骤 2/3
目标：建立切线方向与梯度方向平行的条件
切线方向为 (1, y')，与 (x, 2y) 平行，得 1/x = y'/(2y)，即 y' = 2y/x。
公式：平行向量对应分量成比例
提示：注意方向向量可同向或反向，比例系数可正可负。
步骤 3/3
目标：解微分方程
分离变量：dy/y = 2dx/x，积分得 ln|y| = 2ln|x| + C，即 y = C x^2。代入初始条件 y(1)=2，得 C=2，故 y=2x^2。
公式：dy/y = 2dx/x
提示：注意绝对值处理，最终解为 y=2x^2。
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