kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设可微函数 $z=f(x, y)$ 的图形与 $x O y$ 面的交线方程为 $y=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t+x$ ，且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=1$ ，则 $f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-1$ **解析**：步骤1：交线满足$z=0$，即$f(x,y)=0$，且$y=\int_0^x\mathrm{e}^{t^2}dt+x$。 步骤2：对$x$求导得$y'=\mathrm{e}^{x^2}+1$，在$x=0$处$y=0$，$y'(0)=2$。 步骤3：由隐函数求导，$f_x+f_y\cdot y'=0$，代入$f_x(0,0)=1$，$y'(0)=2$得$1+2f_y=0$，故$\displaystyle f_y(0,0)=-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定交线条件
由题意，图形与xOy面的交线满足z=0，即f(x,y)=0，且y=∫_0^x e^{t^2} dt + x。
提示：注意交线在xOy面上，z坐标为0。
步骤 2/3
目标：求交线在x=0处的导数
对y=∫_0^x e^{t^2} dt + x两边对x求导，得y' = e^{x^2} + 1。代入x=0，得y'(0)=e^0+1=2。同时，x=0时，y=∫_0^0 e^{t^2} dt + 0 = 0。
公式：y' = e^{x^2} + 1
提示：注意积分上限求导公式。
步骤 3/3
目标：利用隐函数求导法则
由f(x,y)=0，对x求导得f_x + f_y · y' = 0。代入x=0,y=0，得f_x(0,0) + f_y(0,0) · y'(0) = 0。已知f_x(0,0)=1，y'(0)=2，所以1 + 2 f_y(0,0) = 0，解得f_y(0,0) = -1/2。
公式：f_x + f_y · y' = 0
提示：隐函数求导时，将y视为x的函数。
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