kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求曲面 $4 z=3 x^{2}-2 x y+3 y^{2}$ 上的点到平面 $x+y-4 z=1$ 的最短距离．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{14}}$ **解析**：步骤1：设曲面上点$(x,y,z)$满足$4z=3x^2-2xy+3y^2$，点到平面距离$\displaystyle d=\frac{|x+y-4z-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}}=\frac{|x+y-4z-1|}{\sqrt{18}}$。 步骤2：代入$z$得$\displaystyle d=\frac{|x+y-(3x^2-2xy+3y^2)-1|}{\sqrt{18}}$，令$F=x+y-3x^2+2xy-3y^2-1$，求极值。 步骤3：解$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}=1-6x+2y=0$，$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=1+2x-6y=0$，得$\displaystyle x=y=\frac{1}{4}$，代入得$\displaystyle z=\frac{3}{16}$，$\displaystyle F=-\frac{7}{8}$，距离$\displaystyle d=\frac{7/8}{\sqrt{18}}=\frac{7}{24\sqrt{2}}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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