kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．过点 $(1,0,1)$ 与 $(0,1,1)$ 且与曲面 $z=1+x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2x+2y+z=3$或$2x+2y+z=3$ **解析**：步骤1：设切点为$(x_0,y_0,z_0)$，曲面$z=1+x^2+y^2$的法向量为$(-2x_0,-2y_0,1)$。 步骤2：平面过两点$(1,0,1)$和$(0,1,1)$，向量为$(-1,1,0)$，且法向量与切平面内向量垂直。 步骤3：设平面方程为$A(x-1)+B(y-0)+C(z-1)=0$，代入点$(0,1,1)$得$-A+B=0$即$A=B$。又法向量与$(-2x_0,-2y_0,1)$平行，且切点满足$z_0=1+x_0^2+y_0^2$，解得$x_0=y_0=1$，$z_0=3$，平面为$2(x-1)+2(y-0)+(z-1)=0$即$2x+2y+z=3$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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