kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．空间曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=z, \\ x=2(y-1)\end{array}\right.$ 在 $y=1$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x-0}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}$ **解析**：步骤1：曲线参数化，令$y=t$，则$z=t^2$，$x=2(t-1)$，在$y=1$处$t=1$，得点$(0,1,1)$。 步骤2：切向量$(x'(t),y'(t),z'(t))=(2,1,2t)$，在$t=1$时为$(2,1,2)$。 步骤3：切线方程$\displaystyle \frac{x-0}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将曲线参数化
令 y = t，则根据曲线方程得 z = t^2，x = 2(t-1)。在 y=1 处，t=1，对应点坐标为 (0,1,1)。
提示：选择 y 作为参数，因为方程中 y 是自由变量。
步骤 2/3
目标：求切向量
对参数方程求导：x'(t)=2，y'(t)=1，z'(t)=2t。在 t=1 处，切向量为 (2,1,2)。
提示：切向量是参数方程对参数的导数。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
利用点向式方程：过点 (0,1,1) 且方向为 (2,1,2) 的切线方程为 (x-0)/2 = (y-1)/1 = (z-1)/2。
公式：\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}
提示：注意分母为切向量的分量。
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