kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．曲面 $z=2 x+y+\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2x+y-z=0$ **解析**：步骤1：$z=2x+y+\ln(1+x^2+y^2)$，求偏导$\displaystyle z_x=2+\frac{2x}{1+x^2+y^2}$，$\displaystyle z_y=1+\frac{2y}{1+x^2+y^2}$。 步骤2：在$(0,0,0)$处，$z_x(0,0)=2$，$z_y(0,0)=1$。 步骤3：切平面方程$z-0=2(x-0)+1(y-0)$，即$2x+y-z=0$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求曲面方程在给定点的偏导数
对曲面方程 $z=2x+y+\ln(1+x^2+y^2)$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：$z_x = 2 + \frac{2x}{1+x^2+y^2}$，$z_y = 1 + \frac{2y}{1+x^2+y^2}$。
公式：$z_x = 2 + \frac{2x}{1+x^2+y^2}$，$z_y = 1 + \frac{2y}{1+x^2+y^2}$
提示：注意对复合函数求导时，$\ln(1+x^2+y^2)$ 的导数为 $\frac{2x}{1+x^2+y^2}$（对 $x$）和 $\frac{2y}{1+x^2+y^2}$（对 $y$）。
步骤 2/3
目标：计算在点 $(0,0,0)$ 处的偏导数值
将点 $(0,0,0)$ 代入偏导数表达式：$z_x(0,0)=2+\frac{0}{1}=2$，$z_y(0,0)=1+\frac{0}{1}=1$。
公式：$z_x(0,0)=2$，$z_y(0,0)=1$
提示：代入时注意 $x=0,y=0$，分母 $1+x^2+y^2=1$。
步骤 3/3
目标：写出切平面方程
曲面在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为 $z-z_0 = z_x(x_0,y_0)(x-x_0) + z_y(x_0,y_0)(y-y_0)$。代入 $x_0=0,y_0=0,z_0=0$ 及偏导数值，得 $z-0 = 2(x-0) + 1(y-0)$，即 $2x+y-z=0$。
公式：$z - z_0 = z_x(x_0,y_0)(x-x_0) + z_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
提示：切平面方程也可写为 $2x+y-z=0$，注意移项后符号。
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