kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6, \\ x+y+z=3\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x-1}{-4}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{1}$ **解析**：步骤1：曲面$F=x^2+2y^2+3z^2-6=0$，$G=x+y+z-3=0$，在$(1,1,1)$处梯度$\nabla F=(2,4,6)$，$\nabla G=(1,1,1)$。 步骤2：切向量$s=\nabla F\times\nabla G=\begin{vmatrix}i&j&k\\2&4&6\\1&1&1\end{vmatrix}=(-2,4,-2)$，取方向向量$(-1,2,-1)$。 步骤3：切线方程$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{-1}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求曲面和平面在给定点的法向量
设曲面 F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-6=0，平面 G(x,y,z)=x+y+z-3=0。在点 (1,1,1) 处，计算梯度：∇F=(2x,4y,6z)|_(1,1,1)=(2,4,6)，∇G=(1,1,1)。
公式：∇F=(2x,4y,6z)，∇G=(1,1,1)
提示：梯度向量是曲面法向量，平面法向量直接由系数得到。
步骤 2/3
目标：求切线的方向向量
切线的方向向量 s 同时垂直于两个法向量，故 s = ∇F × ∇G。计算叉积：s = |i j k; 2 4 6; 1 1 1| = i(4*1-6*1) - j(2*1-6*1) + k(2*1-4*1) = (-2, 4, -2)。可取方向向量为 (-1, 2, -1)。
公式：s = ∇F × ∇G
提示：叉积结果可约去公因子简化。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
切线过点 (1,1,1)，方向向量为 (-1,2,-1)，故切线方程为 (x-1)/(-1) = (y-1)/2 = (z-1)/(-1)。
公式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
提示：注意分母为方向向量的分量。
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