kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $P(1,1,2)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2x+2y+z=6$ **解析**：步骤1：$z=4-x^2-y^2$，$z_x=-2x$，$z_y=-2y$，在$(1,1,2)$处$z_x=-2$，$z_y=-2$。 步骤2：切平面方程$z-2=-2(x-1)-2(y-1)$，即$2x+2y+z=6$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算偏导数
对曲面方程 z = 4 - x^2 - y^2 分别求关于 x 和 y 的偏导数，得到 z_x = -2x，z_y = -2y。
公式：z_x = -2x, z_y = -2y
提示：注意偏导数的计算规则，将其他变量视为常数。
步骤 2/4
目标：代入点坐标求偏导数值
将点 P(1,1,2) 代入偏导数表达式，得到 z_x(1,1) = -2，z_y(1,1) = -2。
公式：z_x(1,1) = -2, z_y(1,1) = -2
提示：代入时注意点的坐标对应 x=1, y=1。
步骤 3/4
目标：写出切平面方程
利用切平面公式 z - z0 = z_x(x0,y0)(x - x0) + z_y(x0,y0)(y - y0)，代入点 (1,1,2) 和偏导数值 -2，-2，得到 z - 2 = -2(x - 1) - 2(y - 1)。
公式：z - z0 = z_x(x0,y0)(x - x0) + z_y(x0,y0)(y - y0)
提示：注意公式中符号，移项后整理。
步骤 4/4
目标：化简方程
将方程 z - 2 = -2(x - 1) - 2(y - 1) 展开并移项，得到 2x + 2y + z = 6。
提示：化简时注意符号，最终结果写成标准形式。
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