kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．求抛物面 $\Sigma: z=x^{2}+y^{2}$ 上的点到空间图形 $\Omega: x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1$ 的形心的最短距离．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$ **解析**：步骤1：空间图形$\Omega$的形心由对称性得$(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=(0,0,\bar{z})$，$\displaystyle \bar{z}=\frac{\iiint_\Omega z dV}{\iiint_\Omega dV}$。 步骤2：$\Omega$为旋转抛物面$z=x^2+y^2$与平面$z=1$围成，体积$\displaystyle V=\int_0^1\pi z dz=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \iiint_\Omega z dV=\int_0^1\pi z^2 dz=\frac{\pi}{3}$，故$\displaystyle \bar{z}=\frac{2}{3}$，形心$\displaystyle (0,0,\frac{2}{3})$。 步骤3：抛物面上点$(x,y,x^2+y^2)$到形心距离平方$\displaystyle d^2=x^2+y^2+(x^2+y^2-\frac{2}{3})^2$，令$r=x^2+y^2\ge0$，则$\displaystyle d^2=r+(r-\frac{2}{3})^2$，求导得$\displaystyle 1+2(r-\frac{2}{3})=0$，$\displaystyle r=\frac{1}{6}$，最小距离$\displaystyle d=\sqrt{\frac{1}{6}+(\frac{1}{6}-\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{12}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$。 **难度**：★★★★☆