kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．已知曲面 $z=f(x, y)$ 由方程 $z-x \ln \left(1+z^{2}\right)+\mathrm{e}^{y}=0$ 所确定，则该曲面在点 $(0,0,-1)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x-y-z=1$ **解析**：步骤1：方程$z-x\ln(1+z^2)+\mathrm{e}^y=0$，令$F=z-x\ln(1+z^2)+\mathrm{e}^y$，求偏导$F_x=-\ln(1+z^2)$，$F_y=\mathrm{e}^y$，$\displaystyle F_z=1-\frac{2xz}{1+z^2}$。 步骤2：在$(0,0,-1)$处，$F_x=-\ln2$，$F_y=1$，$F_z=1$，法向量$(F_x,F_y,F_z)=(-\ln2,1,1)$。 步骤3：切平面方程$-\ln2(x-0)+1(y-0)+1(z+1)=0$，即$-\ln2\cdot x+y+z+1=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造隐函数并求偏导
令 $F(x,y,z)=z-x\ln(1+z^2)+\mathrm{e}^y=0$，则曲面在点 $(0,0,-1)$ 处的法向量为 $(F_x,F_y,F_z)$。计算偏导数：$F_x=-\ln(1+z^2)$，$F_y=\mathrm{e}^y$，$F_z=1-\frac{2xz}{1+z^2}$。
公式：$F_x=-\ln(1+z^2)$，$F_y=\mathrm{e}^y$，$F_z=1-\frac{2xz}{1+z^2}$
提示：注意隐函数求导时，将 $z$ 视为 $x,y$ 的函数，但此处直接对 $F$ 求偏导更方便。
步骤 2/3
目标：代入点坐标求法向量分量
将点 $(0,0,-1)$ 代入偏导数：$F_x(0,0,-1)=-\ln(1+(-1)^2)=-\ln2$，$F_y(0,0,-1)=\mathrm{e}^0=1$，$F_z(0,0,-1)=1-\frac{2\cdot0\cdot(-1)}{1+(-1)^2}=1$。因此法向量为 $(-\ln2,1,1)$。
公式：$F_x=-\ln2$，$F_y=1$，$F_z=1$
提示：代入时注意 $z=-1$，$1+z^2=2$。
步骤 3/3
目标：写出切平面方程
切平面方程为 $F_x(x-0)+F_y(y-0)+F_z(z+1)=0$，即 $-\ln2\cdot x+1\cdot y+1\cdot(z+1)=0$，整理得 $-\ln2\cdot x+y+z+1=0$。
公式：$-\ln2\cdot x+y+z+1=0$
提示：注意点 $(0,0,-1)$ 满足 $z+1=0$，代入时不要遗漏。
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