kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=3$ ，则曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \text { ，在点 }(0,0, \\ y=0\end{array}\right. f(0,0)$ ）处的法平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x-3z+3f(0,0)=0$ **解析**：步骤1：曲线$\begin{cases}z=f(x,y)\\ y=0\end{cases}$在点$(0,0,f(0,0))$处，切向量为$(1,0,f_x(0,0))=(1,0,3)$。 步骤2：法平面法向量即为切向量，法平面方程$1\cdot(x-0)+0\cdot(y-0)+3\cdot(z-f(0,0))=0$，即$x+3z-3f(0,0)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定曲线在给定点的切向量
曲线由方程组 {z=f(x,y), y=0} 给出，在点 (0,0,f(0,0)) 处，y=0 固定，x 为参数，因此切向量为 (1, 0, f_x(0,0))。已知 f_x(0,0)=3，所以切向量为 (1,0,3)。
公式：切向量 = (1, 0, f_x(0,0))
提示：注意曲线是 y=0 平面上的曲线，参数为 x。
步骤 2/2
目标：写出法平面方程
法平面过点 (0,0,f(0,0))，法向量即为切向量 (1,0,3)。法平面方程为 1*(x-0) + 0*(y-0) + 3*(z-f(0,0)) = 0，即 x + 3z - 3f(0,0) = 0。
公式：法平面方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中 (A,B,C) 为法向量。
提示：法平面方程中法向量与切向量平行。
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