kaoyan1basic 高等数学 第600题
📝 题目
### 第600题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ✓
💡 答案解析
**答案**：$8\pi a^4$ **解析**： 步骤1：球面$x^2+y^2+z^2=2ax$，即$(x-a)^2+y^2+z^2=a^2$，球心$(a,0,0)$，半径$a$。被积函数$x^2+y^2+z^2=2ax$。 步骤2：面积分$\iint_{\Sigma}2ax dS=2a\iint_{\Sigma}x dS$。由对称性，球面质心$x$坐标为$a$，故$\iint_{\Sigma}x dS=a\cdot 4\pi a^2=4\pi a^3$。原积分$=2a\cdot4\pi a^3=8\pi a^4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数和积分曲面
球面方程 x^2+y^2+z^2=2ax 可化为 (x-a)^2+y^2+z^2=a^2，球心为 (a,0,0)，半径为 a。被积函数 x^2+y^2+z^2=2ax。
公式：x^2+y^2+z^2=2ax
提示：注意球面方程的标准形式，识别球心和半径。
步骤 2/4
目标：将曲面积分转化为关于 x 的积分
原积分 = ∬_Σ 2ax dS = 2a ∬_Σ x dS。
公式：∬_Σ (x^2+y^2+z^2) dS = 2a ∬_Σ x dS
提示：利用球面方程简化被积函数。
步骤 3/4
目标：利用对称性和质心公式计算积分
由对称性，球面关于 x 轴对称，质心 x 坐标为 a。球面面积 4πa^2，故 ∬_Σ x dS = a * 4πa^2 = 4πa^3。
公式：∬_Σ x dS = a * 4πa^2
提示：质心坐标公式：对于均匀曲面，质心坐标等于积分除以面积。
步骤 4/4
目标：计算最终结果
原积分 = 2a * 4πa^3 = 8πa^4。
公式：2a * 4πa^3 = 8πa^4
提示：注意系数相乘。
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