kaoyan1basic 高等数学 第601题
📝 题目
### 第601题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^4$ **解析**： 步骤1：$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$。由对称性，$\iint_{\Sigma}xy dS=0$等，故$\iint_{\Sigma}(x+y+z)^2 dS=\iint_{\Sigma}(x^2+y^2+z^2)dS$。 步骤2：在球面上$x^2+y^2+z^2=R^2$，故原积分$=R^2\iint_{\Sigma}dS=R^2\cdot4\pi R^2=4\pi R^4$。但注意：$x^2+y^2+z^2=R^2$，所以积分$=R^2\cdot4\pi R^2=4\pi R^4$。常见答案$\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^4$？检查：$\displaystyle \iint_{\Sigma}x^2 dS=\frac{1}{3}\iint_{\Sigma}(x^2+y^2+z^2)dS=\frac{1}{3}R^2\cdot4\pi R^2=\frac{4}{3}\pi R^4$，而三个平方和积分$=4\pi R^4$，故原积分$=4\pi R^4$。但题目中$(x+y+z)^2$展开后，交叉项积分为0，剩下$x^2+y^2+z^2$，其积分为$4\pi R^4$。答案应为$4\pi R^4$，但常见填空题答案写$\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^4$可能是误算，此处按正确结果$4\pi R^4$。 **难度**：★★☆☆☆