kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $f(x, y)$ 可微，$p(x, y), p_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲面 $x=f(x, y)$ 上的点，则（ ）。 （A） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)+\left[f\left(p_{0}\right)-\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ $\_\_\_\_$ （B） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)-\left[f\left(p_{0}\right)-\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ （C） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)+\left[f\left(p_{0}\right)+\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ （D） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)-\left[f\left(p_{0}\right)+\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由可微定义，$f(p)=f(p_0)+\nabla f(p_0)\cdot\overrightarrow{p_0p}+o(|\overrightarrow{p_0p}|)$。 步骤2：移项得$f(p)-[f(p_0)+\nabla f(p_0)\cdot\overrightarrow{p_0p}]=o(|\overrightarrow{p_0p}|)$。 步骤3：除以$|\overrightarrow{p_0p}|$取极限得0，故D正确。 **难度**：★★★☆☆