💡 答案解析
**答案**：（1）$z(x,y)=ye^{-x}+C$；（2）无极值 **解析**： （1）步骤1：由条件，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=[e^{-x}-f(x)]y$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=f(x)$。 步骤2：对$y$积分得$z=y f(x)+\phi(x)$，代入$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y f'(x)+\phi'(x)=[e^{-x}-f(x)]y$。 步骤3：比较得$f'(x)=e^{-x}-f(x)$，解微分方程得$f(x)=e^{-x}(x+C_1)$，由$f(0)=1$得$C_1=1$，故$f(x)=e^{-x}(x+1)$。 步骤4：$\phi'(x)=0$，故$\phi(x)=C$，所以$z(x,y)=y e^{-x}(x+1)+C$。 （2）步骤1：求驻点：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=y e^{-x}(-x)=0$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=e^{-x}(x+1)=0$，得$x=-1,y=0$。 步骤2：二阶偏导$z_{xx}=y e^{-x}(x-2)$，$z_{xy}=e^{-x}(1-x)$，$z_{yy}=0$，在$(-1,0)$处$A=0,B=2e,C=0$，判别式$AC-B^2=-4e^2<0$，无极值。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
目标：根据方向导数与偏导数的关系，写出偏导数表达式
由方向导数定义，沿x轴正向的方向导数即∂z/∂x，沿y轴正向的方向导数即∂z/∂y，因此有 ∂z/∂x = [e^{-x} - f(x)] y，∂z/∂y = f(x)。
公式：∂z/∂x = [e^{-x} - f(x)] y，∂z/∂y = f(x)
提示：方向导数与偏导数的关系：沿坐标轴正向的方向导数等于相应的偏导数。
目标：对y积分得到z的表达式
对 ∂z/∂y = f(x) 关于y积分，得 z = y f(x) + φ(x)，其中φ(x)是x的任意函数。
公式：z = y f(x) + φ(x)
提示：积分时注意将x视为常数。
目标：利用∂z/∂x的表达式确定f(x)和φ(x)
对z求x偏导：∂z/∂x = y f'(x) + φ'(x)。与已知条件比较得 y f'(x) + φ'(x) = [e^{-x} - f(x)] y。由于y是变量，比较系数得 f'(x) = e^{-x} - f(x) 且 φ'(x) = 0。
公式：f'(x) + f(x) = e^{-x}，φ'(x)=0
提示：比较系数时，y的系数和常数项分别相等。
目标：解微分方程求f(x)
解一阶线性微分方程 f'(x) + f(x) = e^{-x}。通解为 f(x) = e^{-∫dx} [∫ e^{∫dx} e^{-x} dx + C] = e^{-x} (∫ e^{x} e^{-x} dx + C) = e^{-x} (x + C)。由f(0)=1得C=1，故 f(x) = e^{-x}(x+1)。
公式：f(x) = e^{-x}(x+1)
提示：一阶线性微分方程公式：y' + P(x)y = Q(x) 的通解为 y = e^{-∫Pdx} (∫Q e^{∫Pdx} dx + C)。
目标：确定z的表达式
由φ'(x)=0得φ(x)=C（常数），代入z表达式得 z = y e^{-x}(x+1) + C。
公式：z(x,y) = y e^{-x}(x+1) + C
提示：常数C不影响极值判断。
目标：求驻点
令一阶偏导数为零：∂z/∂x = y e^{-x}(-x) = 0，∂z/∂y = e^{-x}(x+1) = 0。由第二个方程得 x = -1，代入第一个方程得 y = 0。故驻点为 (-1, 0)。
公式：驻点 (-1, 0)
提示：注意 e^{-x} ≠ 0。
目标：计算二阶偏导数并判断极值
计算二阶偏导：z_{xx} = y e^{-x}(x-2)，z_{xy} = e^{-x}(1-x)，z_{yy} = 0。在驻点(-1,0)处，A = z_{xx} = 0，B = z_{xy} = 2e，C = z_{yy} = 0。判别式 AC - B^2 = -4e^2 < 0，故无极值。
公式：AC - B^2 = -4e^2 < 0
提示：二元函数极值判别法：若AC-B^2<0，则无极值；若>0且A>0，极小值；若>0且A<0，极大值。