kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．已知 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2}, & y=0, \\ x y, & \text { 其他，} l \text { 是单位向量．以下结论：}\end{cases}$ （1）$f(x, y)$ 在原点处连续； （2）$\displaystyle \left.\frac{\partial[f(x, y)]}{\partial l}\right|_{(0,0)}=0$ ； （3）$\left.\mathrm{d}[f(x, y)]\right|_{(0,0)}=0$ ． 所有正确结论的序号是 ． （A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（1）（3） （D）（1）（2）（3）
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：在原点处，$|f(x,y)|\leq |xy|$，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，连续，（1）正确。 步骤2：沿任意方向$l=(\cos\theta,\sin\theta)$，方向导数$\displaystyle \lim_{t\to0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)}{t}$，当$\sin\theta=0$时，$f= t^2\cos^2\theta$，极限为0；当$\sin\theta\neq0$时，$f=t^2\cos\theta\sin\theta$，极限为0，故（2）正确。 步骤3：若可微，则全微分应为0，但偏导数存在且均为0，且方向导数存在，可微性需验证，但由方向导数均为0且连续，可微成立，故（3）正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续性
考虑原点处极限。当y=0时，f(x,0)=x^2→0；当y≠0时，|f(x,y)|=|xy|≤|x||y|→0。因此lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)，故连续。
公式：|f(x,y)| ≤ |xy|
提示：利用绝对值不等式估计
步骤 2/3
目标：计算方向导数
设方向l=(cosθ, sinθ)，方向导数为lim_{t→0} [f(t cosθ, t sinθ) - f(0,0)]/t。当sinθ=0时，f=t^2 cos^2θ，极限为0；当sinθ≠0时，f=t^2 cosθ sinθ，极限为0。故方向导数为0。
公式：∂f/∂l|_{(0,0)} = lim_{t→0} f(t cosθ, t sinθ)/t
提示：分情况讨论sinθ是否为0
步骤 3/3
目标：判断可微性与全微分
由于偏导数f_x(0,0)=lim_{x→0} f(x,0)/x=0，f_y(0,0)=lim_{y→0} f(0,y)/y=0，且方向导数存在且为0，可验证可微性：lim_{(Δx,Δy)→(0,0)} [f(Δx,Δy)-0-0]/√(Δx^2+Δy^2)=0，故可微，全微分为0。
公式：df(0,0) = f_x(0,0)dx + f_y(0,0)dy = 0
提示：利用可微定义验证
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