kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设 $g(x, y)$ 是函数 $f(x, y)=x+2 y+x y$ 在点 $(x, y)$ 处的最大方向导数． （1）求 $g(x, y)$ 的表达式； （2）求 $g(x, y)$ 在曲线 $C: x^{2}+y^{2}=5$ 上的最大值．
💡 答案解析
**答案**：（1）$g(x,y)=\sqrt{(1+y)^2+(2+x)^2}$；（2）$\sqrt{10}+2$ **解析**： （1）步骤1：$f(x,y)=x+2y+xy$，梯度$\nabla f=(1+y,2+x)$。 步骤2：最大方向导数为梯度模长$g(x,y)=\sqrt{(1+y)^2+(2+x)^2}$。 （2）步骤1：在曲线$x^2+y^2=5$上，求$g^2=(1+y)^2+(2+x)^2$的最大值。 步骤2：令$F=(1+y)^2+(2+x)^2+\lambda(x^2+y^2-5)$，求驻点。 步骤3：解方程组得$x=2,y=1$或$x=-2,y=-1$，代入得$g$值分别为$\sqrt{(1+1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$和$\sqrt{(1-1)^2+(2-2)^2}=0$，最大值为$2\sqrt{5}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求梯度表达式
计算函数 f(x,y)=x+2y+xy 的梯度 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (1+y, 2+x)。
公式：∇f = (1+y, 2+x)
提示：梯度是偏导数组成的向量。
步骤 2/5
目标：最大方向导数为梯度模长
最大方向导数等于梯度的模长，因此 g(x,y) = |∇f| = √[(1+y)^2 + (2+x)^2]。
公式：g(x,y) = √[(1+y)^2 + (2+x)^2]
提示：方向导数最大值出现在梯度方向。
步骤 3/5
目标：转化为条件极值问题
在曲线 x^2+y^2=5 上求 g(x,y) 的最大值，等价于求 g^2 = (1+y)^2 + (2+x)^2 的最大值。构造拉格朗日函数 L = (1+y)^2 + (2+x)^2 + λ(x^2+y^2-5)。
公式：L = (1+y)^2 + (2+x)^2 + λ(x^2+y^2-5)
提示：平方后求极值更方便。
步骤 4/5
目标：求驻点
对 L 求偏导并令其为零：∂L/∂x = 2(2+x) + 2λx = 0，∂L/∂y = 2(1+y) + 2λy = 0，∂L/∂λ = x^2+y^2-5=0。解得两组解：x=2, y=1 或 x=-2, y=-1。
公式：方程组：2(2+x)+2λx=0, 2(1+y)+2λy=0, x^2+y^2=5
提示：注意解方程时消去λ。
步骤 5/5
目标：计算并比较函数值
代入 g(x,y) 表达式：当 (x,y)=(2,1) 时，g=√[(1+1)^2+(2+2)^2]=√(4+16)=√20=2√5；当 (x,y)=(-2,-1) 时，g=√[(1-1)^2+(2-2)^2]=0。最大值为 2√5。
公式：g(2,1)=2√5, g(-2,-1)=0
提示：比较大小，取最大值。
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