kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．函数 $u(x, y, z)=x y-2 z^{2}$ 在点 $(1,1,-2)$ 处的最大方向导数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$3\sqrt{2}$ **解析**： 步骤1：梯度$\nabla u=(y,x,-4z)$，在点$(1,1,-2)$处$\nabla u=(1,1,8)$。 步骤2：最大方向导数为梯度模长$\sqrt{1^2+1^2+8^2}=\sqrt{66}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算梯度向量
函数 u(x,y,z)=xy-2z^2，求偏导数：∂u/∂x=y，∂u/∂y=x，∂u/∂z=-4z。梯度 ∇u=(y, x, -4z)。
公式：∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z)
提示：梯度是一个向量，其分量是各偏导数。
步骤 2/3
目标：代入给定点
将点 (1,1,-2) 代入梯度：y=1, x=1, -4z=-4*(-2)=8，得 ∇u(1,1,-2)=(1,1,8)。
提示：注意符号：-4z 代入 z=-2 得 8。
步骤 3/3
目标：计算最大方向导数
最大方向导数等于梯度向量的模长：|∇u| = √(1^2+1^2+8^2) = √(1+1+64) = √66。
公式：最大方向导数 = |∇u| = √( (∂u/∂x)^2 + (∂u/∂y)^2 + (∂u/∂z)^2 )
提示：方向导数最大值出现在梯度方向，大小为梯度模长。
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