kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=2+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=i+2 j$ 的方向导数最大，最大值为 10 ．求 $a, b$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2,b=1$ **解析**： 步骤1：梯度$\nabla z=(2ax,2by)$，在点$(1,2)$处$\nabla z=(2a,4b)$。 步骤2：方向导数最大的方向为梯度方向，即$l=(2a,4b)$与$i+2j$平行，故$\displaystyle \frac{2a}{1}=\frac{4b}{2}$，得$a=b$。 步骤3：最大方向导数为梯度模长$\sqrt{(2a)^2+(4b)^2}=10$，代入$a=b$得$\sqrt{4a^2+16a^2}=10$，即$\sqrt{20a^2}=10$，$|a|\sqrt{20}=10$，$a= \pm\sqrt{5}$，但由方向$l$与梯度同向，取$a=\sqrt{5}$，则$b=\sqrt{5}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算梯度向量
函数 z = 2 + a x^2 + b y^2，求偏导得 ∂z/∂x = 2ax，∂z/∂y = 2by。在点 (1,2) 处，梯度 ∇z = (2a, 4b)。
公式：∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (2ax, 2by)
提示：梯度是方向导数最大的方向。
步骤 2/3
目标：利用方向导数最大方向条件
方向导数最大的方向是梯度方向，已知沿方向 l = i + 2j 方向导数最大，所以梯度与 l 平行，即 (2a, 4b) 与 (1,2) 对应分量成比例：2a/1 = 4b/2，化简得 a = b。
公式：2a/1 = 4b/2 ⇒ a = b
提示：平行向量对应分量成比例。
步骤 3/3
目标：利用最大方向导数值
最大方向导数为梯度模长，即 |∇z| = √((2a)^2 + (4b)^2) = 10。代入 a = b 得 √(4a^2 + 16a^2) = √(20a^2) = 10，解得 |a|√20 = 10，|a| = 10/√20 = √5，所以 a = ±√5。由于方向 l 与梯度同向，取 a = √5，则 b = √5。
公式：|∇z| = √((2a)^2 + (4b)^2) = 10
提示：注意方向导数最大值等于梯度模长，且方向与梯度同向时取正值。
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