kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知函数 $z=f(x, y)$ 可微，其在点 $P_{0}(1,2)$ 处沿从 $P_{0}$ 到 $P_{1}(2,3)$ 的方向的方向导数为 $2 \sqrt{2}$ ，沿从 $P_{0}$ 到 $P_{2}(1,0)$ 的方向的方向导数为 -3 ，则 $z$ 在点 $P_{0}$ 处的最大方向导数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$5$ **解析**： 步骤1：设$\nabla f(1,2)=(f_x,f_y)$，方向$P_0P_1=(1,1)$，单位向量$\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，方向导数为$\displaystyle \frac{f_x+f_y}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，得$f_x+f_y=4$。 步骤2：方向$P_0P_2=(0,-2)$，单位向量$(0,-1)$，方向导数为$-f_y=-3$，得$f_y=3$，进而$f_x=1$。 步骤3：最大方向导数为梯度模长$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设梯度并利用第一个方向导数条件
设梯度 ∇f(1,2) = (f_x, f_y)。方向 P0P1 = (1,1)，其单位向量为 (1/√2, 1/√2)。方向导数为 (f_x + f_y)/√2 = 2√2，因此 f_x + f_y = 4。
公式：方向导数 = ∇f·单位方向向量
提示：注意方向向量需单位化
步骤 2/3
目标：利用第二个方向导数条件
方向 P0P2 = (0,-2)，其单位向量为 (0,-1)。方向导数为 -f_y = -3，因此 f_y = 3。代入 f_x + f_y = 4 得 f_x = 1。
公式：方向导数 = ∇f·单位方向向量
提示：注意方向向量的方向
步骤 3/3
目标：计算最大方向导数
最大方向导数为梯度模长：√(f_x^2 + f_y^2) = √(1^2 + 3^2) = √10。
公式：最大方向导数 = ||∇f||
提示：梯度方向是方向导数最大的方向
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