kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设 $f(x, y, z)=x^{2} \mathrm{e}^{z^{2}}$ ，则 $f(x, y, z)$ 在点 $(-1,0,1)$ 处的方向导数的最小值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$-2$ **解析**： 步骤1：计算梯度$\nabla f=(2xe^{z^2},0,2x^2ze^{z^2})$，在点$(-1,0,1)$处$\nabla f=(-2e,0,2e)$。 步骤2：方向导数最小值等于负的梯度模长$-\sqrt{(-2e)^2+0^2+(2e)^2}=-\sqrt{8e^2}=-2\sqrt{2}e$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算梯度向量
对函数 f(x,y,z)=x^2 e^{z^2} 求偏导数：∂f/∂x = 2x e^{z^2}, ∂f/∂y = 0, ∂f/∂z = 2x^2 z e^{z^2}。在点 (-1,0,1) 处，代入得：∂f/∂x = -2e, ∂f/∂y = 0, ∂f/∂z = 2e。因此梯度 ∇f = (-2e, 0, 2e)。
公式：∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
提示：注意 e^{z^2} 对 z 求导时要用链式法则。
步骤 2/3
目标：计算梯度模长
梯度模长 |∇f| = √[(-2e)^2 + 0^2 + (2e)^2] = √(4e^2 + 4e^2) = √(8e^2) = 2√2 e。
公式：|∇f| = √( (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2 + (∂f/∂z)^2 )
提示：注意 e 是常数，模长结果保留 e。
步骤 3/3
目标：确定方向导数最小值
方向导数的最小值等于负的梯度模长，即 -|∇f| = -2√2 e。
公式：方向导数最小值 = -|∇f|
提示：方向导数在梯度反方向取最小值。
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