kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．$f(x, y, z)=x^{2} \int_{1}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+2 z$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(e-1,0,2)$ **解析**： 步骤1：$f(x,y,z)=x^2\int_1^y e^t dt+2z=x^2(e^y-e)+2z$。 步骤2：求偏导：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x(e^y-e)$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x^2 e^y$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2$。 步骤3：代入点$(1,1,2)$得$\nabla f=(2(1)(e-e),1^2\cdot e,2)=(0,e,2)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简函数表达式
计算定积分 ∫_1^y e^t dt = e^y - e，代入得 f(x,y,z) = x^2(e^y - e) + 2z。
公式：∫_1^y e^t dt = e^y - e
提示：注意积分变量是t，y视为常数。
步骤 2/3
目标：求偏导数
分别对x、y、z求偏导：∂f/∂x = 2x(e^y - e)，∂f/∂y = x^2 e^y，∂f/∂z = 2。
公式：∂f/∂x = 2x(e^y - e), ∂f/∂y = x^2 e^y, ∂f/∂z = 2
提示：求偏导时其他变量视为常数。
步骤 3/3
目标：代入点(1,1,2)计算梯度
代入x=1, y=1, z=2：∂f/∂x = 2*1*(e^1 - e) = 0，∂f/∂y = 1^2 * e^1 = e，∂f/∂z = 2。所以梯度为(0, e, 2)。
公式：∇f(1,1,2) = (0, e, 2)
提示：注意e^1 = e，所以e^1 - e = 0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。