kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．函数 $f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}$ 在点 $(0,1)$ 的最大方向导数为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2\sqrt{2}$ **解析**： 步骤1：计算梯度$\nabla f=(4x,2y)$，在点$(0,1)$处$\nabla f(0,1)=(0,2)$。 步骤2：最大方向导数为梯度模长$\sqrt{0^2+2^2}=2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算梯度向量
函数 f(x,y)=2x^2+y^2，求偏导数得 f_x=4x，f_y=2y，梯度 ∇f=(4x,2y)。
公式：∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)
提示：梯度是各偏导数组成的向量。
步骤 2/3
目标：计算点 (0,1) 处的梯度
代入 x=0, y=1 得 ∇f(0,1)=(4×0, 2×1)=(0,2)。
公式：∇f(0,1)=(0,2)
提示：注意代入坐标时要仔细。
步骤 3/3
目标：最大方向导数为梯度模长
方向导数的最大值等于梯度的模，计算模长：√(0^2+2^2)=2。
公式：最大方向导数 = |∇f| = √(0^2+2^2)=2
提示：方向导数最大值出现在梯度方向。
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