kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设可微函数 $f(u, v)$ 满足 $f\left(x-y, x+\mathrm{e}^{y}\right)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $f(u, v)$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数的最大值等于 ． （A） 1 （B）$\sqrt{2}$ （C）$\sqrt{3}$ （D） 2
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$u=x-y$，$v=x+e^y$，则$f(u,v)=x^2-y^2$。 步骤2：将$x,y$用$u,v$表示，由$u=x-y$，$v=x+e^y$，在点$(1,2)$对应$x=1,y=0$。 步骤3：求偏导：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}$，利用隐函数求导得$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}=2$，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}=0$。 步骤4：梯度$\nabla f(1,2)=(2,0)$，方向导数最大值等于梯度模长$2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立变量关系
令 u = x - y, v = x + e^y，则 f(u, v) = x^2 - y^2。
公式：u = x - y, v = x + e^y
提示：注意变量替换后，f 是 u, v 的函数，但表达式仍用 x, y 表示。
步骤 2/4
目标：确定对应点
在点 (1,2) 处，即 u=1, v=2，对应 x=1, y=0。
提示：通过解方程组 u=1, v=2 得到 x=1, y=0。
步骤 3/4
目标：求偏导数
对等式 f(u,v)=x^2-y^2 两边分别对 x 和 y 求偏导，利用链式法则：∂f/∂u * ∂u/∂x + ∂f/∂v * ∂v/∂x = 2x，∂f/∂u * ∂u/∂y + ∂f/∂v * ∂v/∂y = -2y。代入 ∂u/∂x=1, ∂v/∂x=1, ∂u/∂y=-1, ∂v/∂y=e^y，在点 (x=1,y=0) 处得方程组：f_u + f_v = 2，-f_u + f_v = 0。解得 f_u=1, f_v=1。
公式：f_u + f_v = 2, -f_u + f_v = 0
提示：注意 e^y 在 y=0 时为 1。
步骤 4/4
目标：计算梯度模长
梯度 ∇f(1,2) = (f_u, f_v) = (1,1)，方向导数的最大值等于梯度的模长：√(1^2+1^2)=√2。
公式：|∇f| = √(f_u^2 + f_v^2)
提示：方向导数最大值即梯度方向的方向导数，大小为梯度模长。
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