📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿 $l=(1,1)$ 的方向导数是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ **解析**： 步骤1：计算方向向量$l=(1,1)$的单位向量$\displaystyle l^0=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。 步骤2：由方向导数定义，$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(0,0)}=\lim_{t\to0^+}\frac{f(t/\sqrt{2},t/\sqrt{2})-f(0,0)}{t}$。 步骤3：代入$\displaystyle f(t/\sqrt{2},t/\sqrt{2})=\frac{(t/\sqrt{2})^2|t/\sqrt{2}|}{(t/\sqrt{2})^2+(t/\sqrt{2})^2}=\frac{t^3/(2\sqrt{2})}{t^2}=\frac{t}{2\sqrt{2}}$。 步骤4：极限为$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{t/(2\sqrt{2})}{t}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，但注意方向导数需考虑双向，由于$|y|$导致$t<0$时$f$为负，故极限为$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
目标：计算方向向量 l=(1,1) 的单位向量
方向向量 l=(1,1) 的模为 √(1^2+1^2)=√2，单位向量 l^0 = (1/√2, 1/√2)。
公式：l^0 = (1/√2, 1/√2)
提示：方向导数定义中需使用单位方向向量。
目标：利用方向导数定义写出极限表达式
方向导数定义为 lim_{t→0^+} [f(x0+ t cosα, y0+ t cosβ) - f(x0,y0)] / t，其中 (cosα, cosβ) 是单位方向向量。代入 (0,0) 和 l^0 得：lim_{t→0^+} [f(t/√2, t/√2) - 0] / t。
公式：∂f/∂l|_{(0,0)} = lim_{t→0^+} f(t/√2, t/√2)/t
提示：注意方向导数定义中 t 趋于 0+，但本题函数含绝对值，需考虑 t 正负。
目标：计算 f(t/√2, t/√2) 的表达式
代入 x = t/√2, y = t/√2 到 f(x,y) = x^2|y|/(x^2+y^2)（非零点），得：分子 = (t/√2)^2 * |t/√2| = (t^2/2) * (|t|/√2) = |t| t^2/(2√2)，分母 = (t/√2)^2 + (t/√2)^2 = t^2/2 + t^2/2 = t^2，所以 f = [|t| t^2/(2√2)] / t^2 = |t|/(2√2)。
公式：f(t/√2, t/√2) = |t|/(2√2)
提示：注意绝对值处理，当 t>0 时 |t|=t，t<0 时 |t|=-t。
目标：计算极限得到方向导数
代入极限：lim_{t→0^+} [|t|/(2√2)] / t = lim_{t→0^+} |t|/(2√2 t)。当 t→0^+ 时，|t|=t，所以极限 = lim_{t→0^+} t/(2√2 t) = 1/(2√2) = √2/4。由于方向导数定义通常取 t→0^+，但本题函数在 (0,0) 处沿 l 的方向导数需考虑双向，实际上沿 l 方向导数应为 √2/4。
公式：∂f/∂l|_{(0,0)} = √2/4
提示：注意方向导数定义中 t 趋于 0+，但若考虑双向，结果相同。