kaoyan1basic 高等数学 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．曲面 $\mathrm{e}^{z}-x z+y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$x-2y+z= -3$ **解析**：步骤1：方程$\mathrm{e}^z-xz+y=3$，令$F=\mathrm{e}^z-xz+y-3$，求偏导$F_x=-z$，$F_y=1$，$F_z=\mathrm{e}^z-x$。 步骤2：在$(1,2,0)$处，$F_x=0$，$F_y=1$，$F_z=1-1=0$，法向量$(0,1,0)$。 步骤3：切平面方程$0\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-0)=0$，即$y=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并求偏导
令 $F(x,y,z) = e^z - xz + y - 3$，分别对 $x$、$y$、$z$ 求偏导：$F_x = -z$，$F_y = 1$，$F_z = e^z - x$。
公式：$F_x = -z$, $F_y = 1$, $F_z = e^z - x$
提示：注意隐函数求导时，将曲面方程化为 $F(x,y,z)=0$ 的形式。
步骤 2/3
目标：计算点 $(1,2,0)$ 处的偏导数值
代入 $x=1, y=2, z=0$：$F_x = -0 = 0$，$F_y = 1$，$F_z = e^0 - 1 = 1-1=0$。
公式：$F_x(1,2,0)=0$, $F_y(1,2,0)=1$, $F_z(1,2,0)=0$
提示：注意 $e^0=1$。
步骤 3/3
目标：写出切平面方程
法向量为 $(F_x, F_y, F_z) = (0,1,0)$，切平面方程为 $0\cdot(x-1) + 1\cdot(y-2) + 0\cdot(z-0) = 0$，即 $y=2$。
公式：$0\cdot(x-1)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-0)=0$
提示：切平面方程形式：$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。