kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $\boldsymbol{u}=\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+y z\right) i+\left(x z-\mathrm{e}^{x} \sin y\right) j+(a x y+z) k$ 是某三元函数 $f(x, y, z)$ 的梯度向量， $f(1,0,1)=\mathrm{e}$ ． （1）求 $a$ 的值； （2）求 $f(x, y, z)$ 的表达式．
## 第18章 多元函数积分学
💡 答案解析
**答案**：（1）$a=1$；（2）$f(x,y,z)=e^x\cos y+xyz+z^2/2$ **解析**： （1）步骤1：$\boldsymbol{u}$是梯度，则旋度为零，即$\nabla\times\boldsymbol{u}=0$。 步骤2：计算旋度：$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(axy+z)-\frac{\partial}{\partial z}(xz-e^x\sin y)=ax-x=0$，得$a=1$；其他分量自动满足。 （2）步骤1：由梯度得$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=e^x\cos y+yz$，积分得$f=e^x\cos y+xyz+\phi(y,z)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial\phi}{\partial y}=xz-e^x\sin y$，得$\displaystyle \frac{\partial\phi}{\partial y}=0$，$\phi=\psi(z)$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=xy+\psi'(z)=axy+z$，代入$a=1$得$xy+\psi'(z)=xy+z$，故$\psi'(z)=z$，$\displaystyle \psi(z)=\frac{z^2}{2}+C$。 步骤4：由$\displaystyle f(1,0,1)=e^1\cos0+0+\frac{1}{2}+C=e$，得$\displaystyle e+\frac{1}{2}+C=e$，$\displaystyle C=-\frac{1}{2}$，故$\displaystyle f(x,y,z)=e^x\cos y+xyz+\frac{z^2}{2}-\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆