kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $\bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{4}$ **解析**： 步骤1：区域$\Omega$为圆锥体，底面$z=1$，顶为原点，密度均匀，形心竖坐标$\displaystyle \bar{z}=\frac{\iiint_\Omega z\mathrm{d}V}{\iiint_\Omega \mathrm{d}V}$。 步骤2：用柱坐标，$0\leq\theta\leq2\pi$，$0\leq r\leq z$，$0\leq z\leq1$，体积$\displaystyle V=\iiint_\Omega\mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\mathrm{d}z\int_0^z r\mathrm{d}r=2\pi\int_0^1\frac{z^2}{2}\mathrm{d}z=\frac{\pi}{3}$。 步骤3：$\displaystyle \iiint_\Omega z\mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 z\mathrm{d}z\int_0^z r\mathrm{d}r=2\pi\int_0^1 z\cdot\frac{z^2}{2}\mathrm{d}z=\pi\int_0^1 z^3\mathrm{d}z=\frac{\pi}{4}$。 步骤4：$\displaystyle \bar{z}=\frac{\pi/4}{\pi/3}=\frac{3}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆